Models of multiparameter bifurcations in boundary value problems for ODEs of the fourth order on divergence of elongated plate in supersonic gas flow

Abstract

At the application of bifurcation theory methods to nonlinear boundary value problems for ordinary di erential equations of the fourth and higher order there usually arise technical difficulties, connected with determination of bifurcation manifolds, spectral investigation of the direct and conjugate linearized problems and the proof of their Fredholm property. For overcoming of this di culty here the roots separation method is applied to the relevant characteristic equations with subsequent presentation of critical manifolds, that allows to investigate nonlinear problems in the precise statement. Such approach is applied here to two-point boundary value problem for the nonlinear ODE of the fourth order describing the buckling (divergence) of an elongated plate in a supersonic ow of gas, subjected to compressed or extended boundary stresses at the various boundary fastenings. При применении методов теории бифуркации в нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений четвертого и более высоких порядков, как правило, возникают технические трудности, связанные с определением ифуркационных многообразий, спектральным исследованием прямых и сопряженных линеаризованных задач и доказательством их фредгольмовости. Для их преодоления применяется метод разделения корней соответствующих характеристических уравнений с последующим представлением через них критических многообразий, что позволяет исследовать нелинейные проблемы в точной постановке. Такой подход применяется здесь к двухточечной краевой задаче для нелинейных ОДУ четвертого порядка, описывающих выпучивание (дивергенцию) удлиненной пластины в сверхзвуковом потоке газа при пограничном сжатии/растяжении при различных граничных закреплениях.