Квадратурные формулы высокого порядка аппроксимации

Abstract

В работе предлагается метод построения квадратурной формулы высокого порядка аппроксимации для широкого класса областей, основанный на приближении гладкой функции на плоскости полулокальным сглаживающим сплайном или S'-сплайном. Полулокальные сглаживающие сплайны были введены Д.А. Силаевым. Ранее рассматривались и применялись сплайны 3-й и 5-й степени. Настоящая работа посвящена использованию S'-сплайнов более высоких степеней. Появление устойчивых S-сплайнов класса (7° (только непрерывных), состоящих из полиномов высокой степени п (п = 9,10) позволило получить квадратурные формулы 10-го и 11-го порядков аппроксимации. Предполагается, что интегрируемая функция принадлежит классу Сp (p = 10,11) в несколько большей области, чем исходная область, по которой ведется интегрирование. Предполагается также, что граница области задана параметрически, что позволяет с высокой степенью точности учесть границу области. Подобный подход возможен и для построения кубатурных формул. In the article the method of creation the quadrature formulas with high order approximation for a wide class of the areas is given. This method is based on approach of smooth function on the plane by the semilocal smoothing spline or S-spline. Semilocal smoothing splines are initiated by D.A. Silaev. Earlier the splines of the third and fifth degree are considered and applied. This work is devoted to use of S-splines of higher degrees. Steady S'-splines of a class of C° (only continuous), consisting of polynoms of high degree of n (n = 9,10) makes it possible to receive quadrature formulas of the 10th and 11th orders of approximation. It is supposed that integrand function belongs to Cp class (to p = 10,11) in a bigger area, than initial area on which integration is conducted. It is also supposed that the border of area is set parametrically that helps to consider area border with a fine precision. Similar approach is possible for the construction of cubature formulas.