Об оценке погрешности метода приближенного решения обратной задачи для полулинейного дифференциального уравнения

Abstract

В работе рассмотрена задача с обратным временем для полулинейного дифференциально-операторного уравнения в гильбертовом пространстве. Устойчивое приближенное решение данной нелинейной некорректно поставленной задачи строится с помощью метода проекционной регуляризации. Параметр регуляризации выбирается по схеме М.М. Лаврентьева. Получена точная по порядку оценка погрешности этого метода на классе корректности, заданном с помощью нелинейного оператора. При исследовании методов приближенного решения некорректно поставленных задач на оптимальность важную роль играет модуль непрерывности оператора соответствующей задачи на классах корректности, которые, как правило, определяются с помощью линейных операторов. В настоящей работе получена двусторонняя оценка модуля непрерывности для нелинейной обратной задачи на классе корректности, заданном с помощью нелинейного оператора. С учетом полученной оценки модуля непрерывности доказана оптимальность по порядку метода проекционной регуляризации на рассмотренном классе корректности. An inverse problem for a semi-linear differential-operator equation in a Hilbert space is considered in the paper. The projection regularization method is used to get a stable approximate solution to the nonlinear ill-posed problem. The regularization parameter is chosen referring to the Lavrentev scheme. A sharp error estimate of the considered method on a correctness class defined by means of a nonlinear operator is obtained. The value of the continuity module for the corresponding problem on the correctness classes plays an important role in the investigation of the methods for the solution of ill-posed problems in order to state their optimality. The linear operators are used, as a rule, to define the correctness classes. The two-sided estimate of the continuity module for the nonlinear inverse problem on the correctness class defined by a nonlinear operator is obtained in the present work. The obtained estimate of the continuity module is used to prove the order-optimality of the projection regularization method on the analyzed correctness class.