Аннотации:
The resolvent method, proposed by Sadovnichiy and Dubrovsky in the 1990s, is
successfully applied in the direct spectral problem to calculate the asymptotics of eigenvalues of the perturbed operator, find formulas for the regularized trace, and recover perturbation.
But the application of this method faces difficulties when the resolvent of the unperturbed
operator is non-nuclear. Therefore, a number of physical problems could only be considered
on the interval. This article describes a justification of the transition to the power of an
operator in order to expand the area of possible applications of the resolvent method.
Considering the problem of calculating the regularized trace of the Laplace operator on a
parallelepiped of arbitrary dimension, we show that for every fixed dimension it is possible
to choose the required power of the operator and to calculate the regularized traces. These
studies are relevant due to the need to study important applied problems, particularly in
hydrodynamics, electronics, elasticity theory, quantum mechanics, and other fields. Резольвентный метод, предложенный еще в 90-х гг В.А. Садовничим и В.В. Дубровским, с успехом применим как в прямых спектральных задачах при вычислении
асимптотики собственных чисел возмущенного оператора или формул регуляризованных следов, так и в обратных – при восстановлении потенциала. Однако, применение
этого метода вызывает затруднения в тех случаях, когда резольвента невозмущенного оператора оказывается неядерной. Поэтому ряд физических задач, как известно, приходится рассматривать только на интервале. В данной работе приведено обоснование перехода к степени оператора для расширения области применения резольвентного метода. Рассмотрен вопрос о вычислении регуляризованного следа оператора Лапласа на
параллелепипеде произвольной размерности. Показано, что для любой фиксированной
размерности возможно подобрать нужную степень оператора и вычислить регуляризованный след. Актуальность этих исследований обусловлена необходимостью изучения важных прикладных задач, в частности, в области гидродинамики, радиоэлектроники,
теории упругости, квантовой механики и других.
Описание:
G.A. Zakirova, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation,
zakirova81@mail.ru,
E.V. Kirillov, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation,
thefallk@mail.ru. Галия Амрулловна Закирова, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра ≪Уравнения математической физики≫, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), zakirova81@mail.ru.
Евгений Вадимович Кириллов, магистрант, кафедра ≪Уравнения математической
физики≫,Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская
Федерация), thefallk@mail.ru.