Асимптотическая устойчивость решений одного класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка с параметрами

Abstract

Рассматривается некоторый класс нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка с параметрами. Дифференциальные уравнения такого типа возникают при изучении колебаний ≪перевернутого маятника≫, точка подвеса которого совершает произвольные периодические колебания. установлены условия, при которых нулевое решение асимптотически устойчиво. Указаны оценки области притяжения нулевого решения и получены оценки скорости убывания решений на бесконечности. При получении результатов используется критерий асимптотической устойчивости нулевого решения систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Критерий формулируется в терминах разрешимости специальной краевой задачи на отрезке для дифференциального уравнения Ляпунова. Оценки области притяжения нулевого решения и оценки скорости убывания решений на бесконечности указываются с использованием нормы решения этой краевой задачи. We consider a class of nonlinear second-order ordinary differential equations with parameters. Differential equations of such type arise when studying oscillations of an ≪inversed pendulum≫ in which the pivot point vibrates periodically.We establish conditions under which the zero solution is asymptotically stable. We obtain estimates for the attraction domain of the zero solution and establish estimates for the decay rate of solutions at infinity. Obtaining the results, we use a criterion for asymptotic stability of the zero solution to systems of linear ordinary differential equations with periodic coefficients. The criterion is formulated in terms of solvability of a special boundary value problem for the Lyapunov differential equation on the interval. The estimates of the attraction domain of the zero solution and estimates for the decay rate of the solutions at infinity are established by the use of the norm of the solution to the boundary value problem.